Formules geometriques



Keywords: mathématiques, biophysique, physique, chimie, finance, bourse, relativité, mécanique, géométrie, électrodynamique, quantique, thermodynamique, optique, arithmétique, cryptographie, mathématiciens, physiciens, hydrodynamique, algèbre, analyse, nucléaire, chimie, calcul, suisse, fractals, topologie
Description: Se voulant un complément aux études scolaires, ce site se propose d'aborder différents domaines des mathématiques et de la physique: électrodynamique, physique nucléaire, mécanique analytique, etc. Sans кtre académique, il permet de faire le point avec rigueur sur différents sujets. Il contient également une section des grands mathématiciens et physiciens ainsi qu'une section humour oщ l'on découvre que la science n'est pas forcément signe d'austérité.

N ous avons déjà défini au début du chapitre de Géométrie Euclidienne les concepts de dimensions topologiques, ce qu'étaient un point de dimension nulle et une courbe de dimension unité. Nous ne reviendrons pas sur ces dernières et nous intéresserons aux formes de dimensions supérieures.

Le but du présent chapitre est de répertorier avec démonstrations quelques propriétés mathématiques remarquables des formes et corps géométriques connus (surface, volume, centre de masse, moment d'inertie). Effectivement, il existe nombre de formulaires les répertoriant sans démonstrations mais peu voire pas, d'ouvrages les démontrant toutes (nous n'en avons jamais vu en tout cas. ). La liste ci-dessous est à ce jour loin d'кtre exhaustive (puisqu'il existe une infinité de formes géométriques) mais elle sera complétée avec le temps.

Les quelques formes que nous avons souhaité présenter permettent assez facilement de trouver les propriétés remarquables d'un très grand nombre de formes non répertoriées sur cette page par assemblage ou décomposition.

R1. Les relations trigonométriques remarquables dans les formes géométriques ci-dessous ne sont pas démontrées dans ce chapitre. Celles-ci se trouvent déjà toutes dans le chapitre traitant spécifiquement de la Trigonométrie.

R2. Nous entendons par "centre de gravité", le "barycentre" tel que étudié dans le chapitre de Géométrie Euclidienne.

Il existe plusieurs définitions du concept de surface dont une due à Euclide et une autre moderne due à la topologie (voir chapitre du même nom).

Remarque. Nous nous intéresserons dans un premier temps uniquement aux propriétés (périmètre, surface, centre de gravité, etc.) de surfaces plongées dans des géométries euclidiennes.

Définition: Un " polygone " est une figure plane limitée par des segments de droites consécutifs (autrement dit: par une polyligne fermée).

Définition. Un " quadrilatère ", " pentagone ", " hexagone ", " heptagone " sont des polygones à respectivement quatre, cinq, six, sept. côtés.

Nous distinguons trois grandes familles (mais elles ne sont pas les seules!) de polygones: les polygones croisés, les polygones concaves et les polygones convexes (nous retrouverons ces deux familles dans différents chapitres du site).

Avant d'aller plus loin nous tenons à préciser au lecteur qu'il n'existe de relation mathématique permettant de calculer la surface que pour des polygones simples. Même si dans la pratique nous ne rencontrons quasiment toujours que des polygones non simples, nous avons considéré comme inutile de nous attarder sur la détermination d'une relation qui permettrait de ramener le calcul de la surface d'un polygone quelconque à celui de polygones simples.

Définition: Un polygone est dit " polygone croisé " si deux au moins de ses côtés sont sécants, c'est-à-dire si au moins deux de ses côtés se coupent. C'est le cas du pentagone ABCDE ci-dessous:

Remarque. " L'enveloppe " d'un polygone est le polygone obtenu en suivant le contour extérieur de celui-ci. Par exemple, l'enveloppe du pentagone précédent est un décagone dont les sommets sont les cinq sommets du pentagone et les cinq intersections de ses côtés.

Définition: Un polygone est dit " polygone concave " s'il n'est pas croisé et si une ou plusieurs de ses diagonales ne sont pas entièrement à l'intérieur de la surface délimitée par le polygone.

Par exemple, le pentagone ACDBE ci-dessous est dit concave car les diagonales BC et CE sont respectivement à l'extérieur et partiellement à l'extérieur de la surface délimitée par le polygone.

Définition: Un polygone est dit " polygone convexe " s'il n'est pas croisé et si toutes ses diagonales sont entièrement à l'intérieur de la surface délimitée par le polygone. Ainsi, l'hexagone MNOPQR ci-dessous est dit convexe:

Relativement aux définitions données précédemment où les diagonales étaient mises en évidence, voyons s'il y a une relation permettant de connaître leur nombre relativement au nombre d'arêtes du polygone.

Nous définissons le total de segments s comme étant égal à la quantité de côtés (arкtes) n plus la quantité de diagonales d tel que:

Maintenant, prenons le premier point de notre pentagone. Nous voyons que nous pouvons joindre tous les points n. sauf le point considéré (-1) soit la formation de n - 1 segments comme le montre la figure ci-dessous:

Avec le deuxième point, nous pouvons aussi joindre tous les points n. sauf le point considéré (-1) et le premier point déjà vu (-1) soit la formation de n - 2 segments:

Avec le troisième, nous pouvons aussi joindre tous les points n. sauf le point considéré (-1) et sauf les deux points déjà vu (-2) soit la formation de n - 3 segments

Nous continuons avec les autres points: le 4ème qui donne n - 4 segments, le 5ème qui donne n - 5 segments. In extenso, nous voyons donc que le (n - 2)ème point donne donc n - (n - 2) segments, etc.

Définition: Le " rectangle " est un cas particulier du quadrilatère dans le sens oщ ses côtés L et H (notation pour Longueur et Hauteur selon figure ci-dessous) sont égaux deux à deux et à angle droit (en d'autres termes, L n'est pas forcément égal à H ).

D'autres définitions possibles consistent à dire qu'un rectangle est un parallélogramme disposant d'un angle droit ou un quadrilatère ayant quatre angles droits.

Remarque. Le rectangle peut кtre vu comme la composition de deux (ou plus) triangles rectangles (voir plus loin la définition). Pour construire un rectangle, il suffirait d'avoir un seul et unique triangle rectangle et lui faire subir une double réflexion et une rotation par rapport à un axe bien choisi ( cf. chapitre de Géométrie Euclidienne ).

De par les axiomes d'Euclide ( cf. chapitre de Géométrie Euclidienne ), le périmètre d'un rectangle est donné par:

La position du centre de gravité du rectangle, si nous posons le repère cartésien dans le coin inférieur gauche de la forme, est trivialement donnée par:

Enfin, indiquons que si nous étions des êtres vivants dans un espace à deux dimensions, le rectangle serait ce que nous apercevrions si un parallélépipède traversait notre univers parallèlement à ses faces.

Définition: Le " carré " est un cas particulier du rectangle dans le sens oщ ses quatre côtés sont égaux tels que .

De par les axiomes d'Euclide ( cf. chapitre de Géométrie Euclidienne ), le périmètre du carré est donné par:

La position du centre de gravité du carré, si nous posons le repère cartésien dans le coin inférieur gauche de la forme, est trivialement donnée par:

Enfin, indiquons que si nous étions des êtres vivants dans un espace à deux dimensions, le carré serait ce que nous apercevrions si un cube traversait notre univers parallèlement à ses faces.

Définition: Le " triangle quelconque " est un polygone à trois côtés et englobe dans les cas particuliers, les triangles: isocèles, équilatéraux et rectangles.

De par les axiomes d'Euclide ( cf. chapitre de Géométrie Euclidienne ), le périmètre d'un triangle quelconque est donné par:

Le triangle quelconque est toujours décomposable en deux triangles rectangles. Ainsi, celui de la figure ci-dessus peut se décomposer en deux triangles rectangles:

de base respective et (définis par la projection orthogonale du sommet opposé au segment a ) tels que:

La surface de chacun de ces deux triangles rectangles est comme nous l'avons déjà implicitement dit dans notre étude du rectangle, la moitié de la surface d'un rectangle de mкme longueur et mкme hauteur. Ainsi:

Nous pouvons dire à partir de cette dernière relation, que la surface de tout triangle quelconque est assimilable à la moitié de la surface d'un rectangle de longueur et hauteur .

Remarque. Quelle que soit la base a. b. c et la hauteur respective , le raisonnement précédent reste bien évidemment totalement juste.

Ceci dit. c'est bien joli mais il y a de très nombreux cas pratiques où l'on ne connaît pas la hauteur mais seulement la longueur des trois côtés. Alors que fait-on? Eh bien on va utiliser le théorème du cosinus (Théorème d'Al-Kashi) démontré dans le chapitre de Trigonométrie qui nous donne pour rappel pour un triangle quelconque du type:

Figure: 72.14 - Rappel de la construction pour la démonstration du théorème du cosinus

La détermination du centre de gravité (ou barycentre) G ( cf. chapitre de Géométrie Euclidienne ) est un peu moins intuitive que dans le cas du rectangle.

Nous pouvons bien sыr nous servir d'un repère et des outils du calcul vectoriel pour très facilement déterminer ce dernier. Nous allons donc démontrer que le centre de gravité d'un triangle quelconque se situe à l'intersection de toutes les médianes:

Soit un triangle ABC. Nous appelons A ' le milieu du segment BC. B ' celui de AC et C ' celui de AB :

Nous allons démontrer que le seul point G vérifiant ( cf. le chapitre de Géométrie Euclidienne ):

est le point de concours des trois médianes du triangle ABC. Cette démonstration s'effectuera en deux étapes, en deux propositions. Au terme, nous pourrons conclure par le théorème.

P2. Les trois médianes d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection est ce point G .

DM2. Pour démontrer que les trois médianes sont concourantes, nous allons prouver que G appartient à chacune des trois médianes.

Les vecteurs et sont donc colinéaires! Donc les points A. G. A ' sont alignés. Autrement écrit, le point G fait partie de la médiane AA ' du triangle ABC. Nous pouvons mкme dire qu'il se trouve aux deux tiers du segment AA ' à partir du sommet A .

Ce que nous venons de montrer avec la médiane AA ' est bien évidemment aussi vrai pour les deux autres médianes. Ainsi:

En résumé, le point G fait donc partie des trois médianes AA ', BB ' et CC '. Ces trois droites sont donc concourantes et le point G en est le point d'intersection. Ce résultat nous sera utile plus tard lors de notre étude des polyèdres.

Enfin, indiquons que si nous étions des êtres vivants dans un espace à deux dimensions, le triangle serait ce que nous apercevrions si des formes géométriques composées d'au moins trois faces jointes traverseraient notre univers par un des sommets.

Nous arrêterons là cette analogie avec un espace à deux dimensions généralisable à chaque forme géométrique que nous allons présenter par la suite (cercle et sphère, ellipse et ellipsoïde, etc.). L'idée était surtout de soumettre la conception que les volumes que nous connaissons dans notre quotidien peuvent aussi être vus comme des formes à 4 dimensions traversant notre espace de 3 dimensions.

Définition: Un " triangle isocèle " est un cas particulier du triangle quelconque, dans le sens oщ il a deux côtés égaux (isométriques).

mais comme il a deux côtés égaux, alors nous pouvons toujours le simplifier sous la forme suivante:

Et le centre de gravité reste, comme nous l'avons démontré dans le cas général, à la position:

Propriété remarquable d'un triangle isocèle: la médiatrice et la médiane h du troisième côté non égal aux deux autres sont confondues ( cf. chapitre de Géométrie Euclidienne ).

Définition: Un " triangle équilatéral " est un cas particulier du triangle, dans le sens oщ il a trois côtés égaux:

Et le centre de gravité reste comme nous l'avons démontré dans le cas général, à la position:

Une propriété remarquable d'un triangle équilatéral est que ces médiatrices et médianes sont confondues ( cf. chapitre de Géométrie Euclidienne )!

Voyons maintenant le petit " théorème de Viviani " utilisé régulièrement à des fins de représentation graphique dans le domaine du génie des matériaux (mélanges), ou des statistiques (plans de mélange ou encore distribution de 3 fréquences de données dont la somme est toujours égale).

Si nous plaçons un point dans un triangle équilatéral et que de ce point nous traçons une ligne en direction de chacun des côtés, de telle sorte que les lignes soient perpendiculaires à chaque côté. Peu importe où nous plaçons le point, la somme des distances perpendiculaires entre le point et les côtés est égale à la hauteur du triangle.

Pour la démonstration, notons les distances de M aux côtés, l la longueur d'un côté et h la hauteur. Nous avons alors:

Définition: Un " triangle rectangle " est un cas particulier du triangle, dans le sens que sur un de ses trois angles, il y en a un qui est droit.

La surface comme nous l'avons démontré dans le cas général reste (surface de la moitié d'un rectangle de mкme base et de mкme hauteur):

Et le centre de gravité reste comme nous l'avons démontré dans le cas général, à la position:

Propriété remarquable d'un triangle rectangle: le triangle rectangle a ceci de particulier, que nous pouvons directement lui appliquer le théorème de Pythagore ( cf. chapitre de Géométrie Euclidienne ).

Définition: Un " trapèze ", est un quadrilatère (non croisé) ayant deux côtés (au moins) parallèles.

Lorsque les deux côtés ont même longueur (ou, sont de même longueur), nous obtenons les cas particuliers du carré, du rectangle, du losange, du parallélogramme (ici, ordre du plus précis au plus général, nous pourrions mettre le losange en n° 2).

Aussi un usage courant consiste à ne retenir qu'une définition plus restrictive, afin de ne pas prendre en compte ces figures particulières. Nous ajoutons dans ce cas que les longueurs des deux côtés parallèles ne sont pas égales (cela permet aux élèves des petites classes d'éviter les confusions résultant de l'existence de deux noms pour le même objet, par exemple losange et trapèze).

Remarque. Il existe un cas particulier de trapèze, le " trapèze isocèle ", dont les deux côtés non parallèles sont de même longueur. (nous pouvons ajouter: Comme ses deux côtés ne sont pas parallèles, il ne s'agit pas d'un parallélogramme).

Définition: Le " parallélogramme " est un cas particulier du quadrilatère et très important (dans le cadre de l'analyse des formes en physique), oщ les côtés sont parallèles deux à deux et les angles opposés égaux:

Pour la surface, comme il s'agit d'un cas particulier du trapèze, il vient immédiatement:

Au vu de la figure ci-dessus, il est évident que si on coupe le parallélogramme en deux comme ci-dessous, on voit qu'il s'agit deux fois du même triangle:

Et il vient alors immédiatement la propriété suivante très utile en physique lors de l'analyse de la statique des forces ou encore des phaseurs dans l'études des superpositions d'ondes:

Définition: Le " losange " est un cas particulier du parallélogramme dans le sens oщ ses quatre côtés sont égaux.

Le calcul du périmètre et de la surface du losange découlent immédiatement de ceux du trapèze.

D1. Un " cercle " est un cas particulier d'un polygone avec une infinité de côtés.

D2. Un " cercle " est une courbe plane dont tous les points sont à égale distance d'un point fixe appelé " centre ".

Nous démontrons dans la section d'Informatique Théorique ( cf. chapitre de Méthodes Numériques ), que le périmètre d'un cercle de rayon R et donc de diamètre est donné par:

2. La seconde méthode est plus esthétique et fait appel à l'équation paramétrique du cercle, trivialement donnée par les projections orthogonales des coordonnées cartésiennes:

Il nous suffit alors de substituer dans cette intégrale les variables paramétrées:

La longueur l d'une tranche d'angle d'ouverture d'un cercle de rayon R est bien évidemment donnée par:

et la surface d'une tranche d'angle d'ouverture d'un cercle de rayon R de manière identique par:

Soit connue la relation de calcul de la surface d'un triangle. Nous avons selon la figure ci-dessous (la démonstration tient seulement dans le résultat lui-mкme):

Remarque. Par définition du cercle, il est évident que le centre de gravité du cercle se confond avec le centre de celui-ci.

Définition: Une " ellipse " est une courbe fermée dont chaque point est tel que la somme de ses distances à deux points fixes appelés " foyers " est constante (comme nous l'avons vu dans le chapitre d'Algèbre Ensembliste et de Géométrie Analytique, l'ellipse peut aussi être vue comme une transformation affine du cercle).

Introduisons pour commencer un petit texte relativement au calcul du périmètre de l'ellipse:

La distance entre le centre de l'ellipse et son périmètre est alors donnée par le théorème de Pythagore:

et là ça commence à se corser. Ce genre d'intégrale n'est pas facilement calculable à l'aide des primitives connues, intégration par parties, changements de variable ou autre. Il s'agit de ce que nous appelons une " intégrale elliptique du second ordre en J " pour ( cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral ):

De longs développements que nous présenterons dans quelques années dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral donnent pour le périmètre après un calcul en série limitée:

La relation de surface de l'ellipse peut кtre obtenue de manière très similaire à celle du cercle et les calculs sont curieusement beaucoup plus simples que ceux du périmètre. Rappelons que l'équation paramétrique l'ellipse est:

Il nous suffit alors de substituer dans cette intégrale les variables paramétrées:

Remarque. Il faut faire attention dans ce genre de calculs à l'ordre des bornes d'intégration. Effectivement, si nous avions pris les bornes allant de (au lieu de ) il faut imaginer que la fonction intégrée parcoure le périmètre dans le sens négatif de l'axe des abscisses. Donc, l'intégrale serait alors forcément négative.

R1. Nous supposons comme évident que le centre de gravité de l'ellipse se confond avec le centre de celle-ci.

R2. Nous renvoyons le lecteur à l'étude des coniques ( cf. chapitre de Géométrie Analytique ) pour le calcul de la surface d'une ellipse à partir de son "paramètre d'ellipse" et de son "excentricité" (tout y est démontré).

Il existe plusieurs définitions du concept de volume (surface qui limite un corps). Une définition due à Euclide et une autre due au domaine de la topologie (voir le chapitre du même nom).

À gauche, le corps est limité uniquement par des surfaces planes, au milieu par une et une seule unique surface courbe, et à droite par une surface courbe et deux surfaces planes.

Remarque. Nous nous intéresserons dans un premier temps uniquement aux propriétés (surface, volume, centre de gravité, moment d'inertie. ) de volumes plongés dans des géométries euclidiennes.

L'étude des polyèdres (particulièrement les polyèdres platoniciens) est très importante en physique (pour la cristallographie par exemple) et en mathématiques car elle permet d'avoir une application sympathique des groupes finis ( cf. chapitre d'Algèbre Ensembliste ). Il convient donc de porter une lecture relativement attentive à ce qui va suivre.

Par ailleurs, l'étude des polyèdres est aussi un moyen très pédagogique et esthétique pour voir la mise en oeuvre de plusieurs théorèmes géométriques, de trigonométrie et d'algèbre vectoriel.

Précisons avant toute chose que les différents polyèdres ne seront délibérément pas présentés sur un pied d'égalité. Ainsi, nous nous concentrerons sur certaines propriétés pour certains et pas pour d'autres.

D1. Un " polyèdre " est un solide dont la frontière est formée de plans ou de portions de plan. Les portions de plan, qui comprennent ainsi entre elles le polyèdre, sont les faces; chaque face, étant limité par intersections (les arêtes) avec les faces voisines, est un polygone. Les côtés de ce polygone sont les arкtes du polyèdre. Nous appelons "sommet" d'un polyèdre tout sommet d'une quelconque de ses faces.

D2. Un " polygone régulier " est un polygone dont les côtés, et tous les angles sont égaux (cette définition nous sera utile pour les polyèdres réguliers).

Définition: Le " parallélépipède " est un volume à six faces parallèles deux à deux (donc il n'est pas un polyèdre régulier!).

Quant à sa surface, il s'agit simplement de la somme des surfaces des rectangles sans rien de particulier.

Calculons maintenant le moment d'inertie d'une plaque (parallélépipède) d'épaisseur e et de surface transversale S dont l'axe de rotation est y :

et occupons-nous maintenant du moment d'inertie de ce rectangle par rapport à l'axe z (perpendiculaire à x et à y donc) et disposons les axes de façon à avoir:

Nous allons montrer qu'il est dès lors possible de calculer le moment d'inertie du triangle équilatéral et rectangle.

Le moment d'inertie toujours par rapport au même axe, mais pour la moitié du carré, est donné par:

Si le centre de gravité est posé sur le tiers de la médiane partant du centre de gravité du carré et que nous faisons usage du théorème de Steiner ( cf. chapitre de Mécanique Classique ), il vient:

En procédant exactement de même pour un triangle rectangle de côtés a. b dont l'axe de rotation passe par le centre de gravité G. il vient:

Définition: La " pyramide " est un polyèdre qui a pour base un polygone et pour faces latérales des triangles réunis en un point appelé " sommet ". La pyramide n'est donc pas dans le cas général un polyèdre régulier!

Considérons une surface S (t ) de la section de la pyramide avec le plan d'équation , alors le volume V cherché est égal à:

Nous parlons d'équation de plan alors qu'il n'y a pas de repères défini pour l'instant. Au fait, dans l'intégrale, t varie entre 0 et h. Cela sous-entend que nous prenons un repère centré en H (le pied de la hauteur de la pyramide), d'axe de la droite (la hauteur de la pyramide) orientée de O vers H (du pied de la hauteur vers le sommet). Les deux autres axes sont choisis quelconques dans le plan de la base de la pyramide.

Soit S l'aire de la base de la pyramide. La section de la pyramide par le plan d'équation se déduit par l'homothétie de centre O et de rapport t /h. Donc, l'intégrale s'écrit:

Le fait d'avoir pris le carré de t /h provient de ce que chaque terme intérieur de S est le produit de deux termes (selon le calcul de la surface d'un triangle) chacun de rapport d'homothétie t /h .

Définition: Le " prisme droit " est un polyèdre dont les bases sont deux polygones égaux à côtés parallèles (elles ont la même surface!), les faces latérales étant des parallélogrammes. Donc, le prisme droit n'est pas un polyèdre régulier! Les deux faces parallèles et de même forme sont appelées les bases du prisme droit.

Pour calculer le volume V d'un prisme droit, nous devons tout simplement multiplier l'aire de sa base B par sa hauteur h :

Sa base est un polygone, c'est-à-dire qu'elle peut être un triangle, un quadrilatère, ou un pentagone. Il faut donc savoir calculer ces aires pour calculer le volume du prisme droit.

D1. Un " polyèdre régulier " est constitué de faces toutes identiques et régulières.

D2. Un " polyèdre convexe " est tel que chaque point d'un segment de droite qui joint deux points quelconques appartient au polyèdre.

Les polyèdres réguliers sont au nombre de neufs, dont cinq sont convexes et étaient connus de Platon. Nous appelons parfois polyèdres réguliers uniquement les solides de Platon et ce sont ceux-ci qui vont nous intéresser ici.

Démontrons d'abord qu'il n'existe que cinq polyèdres réguliers convexes qui sont donc appelés " les cinq solides platoniciens " (les autres colonnes du tableau ci-dessous seront démontrées et expliquées un peu plus loin):






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